Temat pojawiał się już, ale ponieważ stale sprawia trudności, więc przedstawiam go teraz w skróconej formie.
Obliczamy wartość rocznej lokaty. Mamy następujące
dane:
bieżącą
wartość PV = 1.000,00 zł, stopę procentową R = 8% oraz czas utrzymania w latach
N = 1, (jeśli n nie jest podane oznacza, że wynosi 1)
Obliczymy
FV (Future Value), czyli wartość przyszłą
Posługujemy
się czynnikiem przyszłej wartości FVF (Future Value Factor) i korzystamy ze
wzoru:
FV ×
FVF = FV
Jak
obliczamy FVF?
FVF = (1 + R ÷ 100)N
A
zatem, dzielimy R przez 100 i dodajemy jedynkę: 1 + 8 ÷ 100 = 1,08
(Dodanie jedynki wynika z tego, że w sumie obliczamy 100% + 8%, a zatem
100 + 8 / 100 = 1 + 0,08 = 1,08
(Dodanie jedynki wynika z tego, że w sumie obliczamy 100% + 8%, a zatem
100 + 8 / 100 = 1 + 0,08 = 1,08
Ponieważ
N = 1 to wykładnik potęgowania jest jednością 1,081 = 1,08
Jeśli
wykonamy działanie PV × FVF = FV, otrzymamy przyszłą wartość naszej lokaty
1.000,00
zł × 1,08 = 1.080,00 zł
Dla tej samej lokaty, ale utrzymywanej
dłużej niż rok, np. przez 5 lat (N = 5) obliczenia będą wyglądały następująco:
FVF
= (1 + R ÷ 100)5
FVF = (1 + 8 ÷ 100)5 = 1,085 = 1,469328
1.000,00
× 1,469328 = 1.469,33
FVF5 wynika z tego, że dokonujemy następujących podstawień:
1. rok: 1.000,00 × 1,08 = 1.080,00
2. rok: 1.080,00 × 1,08 = 1.166,40
... itd
Łatwo zauważyć, że na miejsce "1.080,00" w 2. roku można podstawić "1.000,00 × 1,08"
Otrzymamy wtedy:
2. rok: 1.000,00 × 1,08 × 1,08 = 1.166,40
mamy więc:
1.000,00 × 1,08 × 1,08 = 1.166,40, czyli ...
1.000,00 × 1,082 = 1.166,40
Podstawiając dalej do 3., 4. i 5. roku otrzymamy w rezultacie ...
1.000,00 × 1,085 = 1.469,33
Jeśli mamy
podstawowy kalkulator bez funkcji potęgowania, możemy wykonać następujące działania:
1. po
obliczeniu 1,08 naciskamy klawisz mnożenia,
2.
naciskamy 4 razy klawisz równości - otrzymamy 1,469328 = FVF
3.
mnożymy FVF przez 1.000,00 zł i otrzymamy 1.469,33
A tak będą wyglądały operacje na klawiaturze kalkulatora:
[8] [÷] [1] [0] [0] [+] [1] [×] [=] [=] [=] [=] [×] [1] [0] [0] [0] [=]
A tak będą wyglądały operacje na klawiaturze kalkulatora:
FVF wykorzystujemy do dyskontowania, czyli
obliczenia bieżącej (dzisiejszej) wartości przyszłych przepływów pieniężnych CF.
Dla
przykładu, jeśli interesuje nas dzisiejsza wartość przepływu CF = 15.000, który nastąpi w
5. roku przy stopie dyskontowej 8% (np. oprocentowanie kredytu albo oczekiwana
stopa zwrotu EV) to obliczamy ją następująco:
FVF = (1 + 8 ÷ 100)5 = 1,085 = 1,469328
Ponieważ PV ×
FVF = FV
to PV = FV / FVF
to PV = FV / FVF
15.000,00 ÷ 1,469328 = 10.208,75
Oznacza to, że dzisiejsza wartość kwoty, którą otrzymamy za 5 lat wynosi 10.208,75
Oznacza to, że dzisiejsza wartość kwoty, którą otrzymamy za 5 lat wynosi 10.208,75
Obliczanie
dzisiejszej wartości przepływu CF, przy danym oprocentowaniu, to inaczej
obliczenie (dyskontowanie) przyszłej kwoty. W wyniku tego otrzymujemy kwotę którą dziś należałoby wpłacić na lokatę (R=8%) aby otrzymać w przyszłości
dany CF.
Sprawdźmy
to posługując się danymi z ostatniego przekładu:
FV ×
FVF = FV
PV =
10.208,75
FVF = 1,469328
10.208,75
× 1, 469328 = 15.000,00
A więc
dyskontując przepływ (15.000,00), który nastąpi za 5 lat otrzymujemy wartość
obecną tego przepływu (10.208,75). Jest to kwota, którą należy dziś umieścić na
lokacie, aby za 5 lat otrzymać
Przykład zastosowania dyskontowania
Wyobraźmy sobie, że pan Wierzycielski pożyczył panu Pożyczalskiemu 2.000,00 zł. Zwrot długu powinien nastąpić dziś, ale pan Pożyczalaski oświadcza, że dług będzie mógł zwrócić dopiero za rok. Jak ująć finansowo taką sytuację. Powstaje pytanie, jaką wartość ma dziś dla pana Wierzycielskiego ma 2.000,00, które otrzyma za rok. Dla rozwiązania tego problemu użyjemy właśnie dyskontowania. Gdyby pan Wierzycielski dostał pieniądze dziś, mógłby je wpłacić na dostępną dla niego, np. 5% lokatę i za rok otrzymałby 2.000,00 + 100,00 zł = 2.100,00 zł. Widać już, że godząc się oddanie 2.000,00 za rok traci 100,00 zł. Sprawdźmy więc ile musiałby wpłacić dziś, żeby otrzymać za rok 2.000,00 zł.
Korzystamy
ze znanego wzoru:
PV × FVF = FV
PV = FV ÷ FVF
PV = FV ÷ FVF
FVF =
(1 + 5 ÷ 100) = 1,05
Po
podstawieniu otrzymamy:
2.000,00 ÷ 1,05 = 1.904,76
Wartość
dzisiejsza 2.000,00, które pan Wierzycielski otrzyma za rok wynosi 1.904,76 zł
(95,24 zł mniej), a więc może zaproponować panu Pożyczalskiemu zwrot 95,24 zł
dziś i 2.000,00 zł za rok.
Obliczanie przeceny (podwyżki lub obniżki; opustu)
Podwyżka ceny (wzrost procentowy):
Jeśli cena A rośnie o 15% to FVF = 100% + 15%
Obliczanie przeceny (podwyżki lub obniżki; opustu)
Podwyżka ceny (wzrost procentowy):
Jeśli cena A rośnie o 15% to FVF = 100% + 15%
115% / 100 = 1,15
FV = 1,15 × A
Np. cenę towaru 150zł podniesiono o 25%
FV = 1,15 × A
Np. cenę towaru 150zł podniesiono o 25%
25/100+1 = 1,25 (FVF)
1,25 × 150zł = 187,50zł
Obniżka ceny (opust, spadek procentowy):
Jeśli cena A maleje o 15% to FVF = -15/100+1 = 0,85
FV = 0,85 × A
Np. cenę towaru 150zł obniżono o 25%
-25/100+1 = 0,75 (FVF)
0,75 × 150zł = 112,50zł