Proste obliczenia finansowe

Temat pojawiał się już, ale ponieważ stale sprawia trudności, więc przedstawiam go teraz w skróconej formie.

Obliczamy wartość rocznej lokaty. Mamy następujące dane:

bieżącą wartość PV = 1.000,00 zł, stopę procentową R = 8% oraz czas utrzymania w latach N = 1, (jeśli n nie jest podane oznacza, że wynosi 1)

Obliczymy FV (Future Value), czyli wartość przyszłą

Posługujemy się czynnikiem przyszłej wartości FVF (Future Value Factor) i korzystamy ze wzoru:

FV × FVF = FV

Jak obliczamy FVF?

FVF = (1 + R ÷ 100)^N

A zatem, dzielimy R przez 100 i dodajemy jedynkę: 1 + 8 ÷ 100 = 1,08

(Dodanie jedynki wynika z tego, że w sumie obliczamy 100% + 8%, a zatem
100 + 8 / 100 = 1 + 0,08 = 1,08

Ponieważ N = 1 to wykładnik potęgowania jest jednością 1,08¹ = 1,08

Jeśli wykonamy działanie PV × FVF = FV, otrzymamy przyszłą wartość naszej lokaty

1.000,00 zł × 1,08 = 1.080,00 zł

Dla tej samej lokaty, ale utrzymywanej dłużej niż rok, np. przez 5 lat (N = 5) obliczenia będą wyglądały następująco:

FVF = (1 + R ÷ 100)⁵

FVF = (1 + 8 ÷ 100)⁵ = 1,08⁵ = 1,469328

1.000,00 × 1,469328 = 1.469,33

FVF⁵ wynika z tego, że dokonujemy następujących podstawień:

1. rok: 1.000,00 × 1,08 = 1.080,00
2. rok: 1.080,00 × 1,08 = 1.166,40
... itd

Łatwo zauważyć, że na miejsce "1.080,00" w 2. roku można podstawić "1.000,00 × 1,08"

Otrzymamy wtedy:

2. rok: 1.000,00 × 1,08 × 1,08 = 1.166,40

mamy więc:

1.000,00 × 1,08 × 1,08 = 1.166,40, czyli ...  

1.000,00 × 1,08² = 1.166,40

Podstawiając dalej do 3., 4. i 5. roku otrzymamy w rezultacie ... 

1.000,00 × 1,08⁵  = 1.469,33

Jeśli mamy podstawowy kalkulator bez funkcji potęgowania, możemy wykonać następujące działania:

1. po obliczeniu 1,08 naciskamy klawisz mnożenia,

2. naciskamy 4 razy klawisz równości - otrzymamy 1,469328 = FVF

3. mnożymy FVF przez 1.000,00 zł i otrzymamy 1.469,33

A tak będą wyglądały operacje na klawiaturze kalkulatora:

[8] [÷] [1] [0] [0] [+] [1] [×] [=] [=] [=] [=] [×] [1] [0] [0] [0] [=]

FVF wykorzystujemy do dyskontowania, czyli obliczenia bieżącej (dzisiejszej) wartości przyszłych przepływów pieniężnych CF.

Dla przykładu, jeśli interesuje nas dzisiejsza wartość przepływu CF = 15.000, który nastąpi w 5. roku przy stopie dyskontowej 8% (np. oprocentowanie kredytu albo oczekiwana stopa zwrotu EV) to obliczamy ją następująco:

FVF = (1 + 8 ÷ 100)⁵ = 1,08⁵ = 1,469328

Ponieważ  PV × FVF = FV

to  PV = FV / FVF

15.000,00 ÷ 1,469328 = 10.208,75

Oznacza to, że dzisiejsza wartość kwoty, którą otrzymamy za 5 lat wynosi 10.208,75

Obliczanie dzisiejszej wartości przepływu CF, przy danym oprocentowaniu, to inaczej obliczenie (dyskontowanie) przyszłej kwoty. W wyniku tego otrzymujemy kwotę którą dziś należałoby wpłacić na lokatę (R=8%) aby otrzymać w przyszłości dany CF.

Sprawdźmy to posługując się danymi z ostatniego przekładu:

FV × FVF = FV

PV = 10.208,75

FVF = 1,469328

10.208,75 × 1, 469328 = 15.000,00

A więc dyskontując przepływ (15.000,00), który nastąpi za 5 lat otrzymujemy wartość obecną tego przepływu (10.208,75). Jest to kwota, którą należy dziś umieścić na lokacie, aby za 5 lat otrzymać

Przykład zastosowania dyskontowania

Wyobraźmy sobie, że pan Wierzycielski pożyczył panu Pożyczalskiemu 2.000,00 zł. Zwrot długu powinien nastąpić dziś, ale pan Pożyczalaski oświadcza, że dług będzie mógł zwrócić dopiero za rok. Jak ująć finansowo taką sytuację. Powstaje pytanie, jaką wartość ma dziś dla pana Wierzycielskiego ma 2.000,00, które otrzyma za rok. Dla rozwiązania tego problemu użyjemy właśnie dyskontowania. Gdyby pan Wierzycielski dostał pieniądze dziś, mógłby je wpłacić na dostępną dla niego, np. 5% lokatę i za rok otrzymałby 2.000,00 + 100,00 zł = 2.100,00 zł. Widać już, że godząc się oddanie 2.000,00 za rok traci 100,00 zł. Sprawdźmy więc ile musiałby wpłacić dziś, żeby otrzymać za rok 2.000,00 zł.

Korzystamy ze znanego wzoru:

PV × FVF = FV 

PV = FV ÷ FVF

FVF = (1 + 5 ÷ 100) = 1,05

Po podstawieniu otrzymamy:

2.000,00 ÷ 1,05 = 1.904,76

Wartość dzisiejsza 2.000,00, które pan Wierzycielski otrzyma za rok wynosi 1.904,76 zł (95,24 zł mniej), a więc może zaproponować panu Pożyczalskiemu zwrot 95,24 zł dziś i 2.000,00 zł za rok.

Obliczanie przeceny (podwyżki lub obniżki; opustu)

Podwyżka ceny (wzrost procentowy):
Jeśli cena A rośnie o 15% to FVF = 100% + 15%

115% / 100 = 1,15
FV = 1,15 × A

Np. cenę towaru 150zł podniesiono o 25%

25/100+1 = 1,25 (FVF)

1,25 × 150zł = 187,50zł

Obniżka ceny (opust, spadek procentowy):
Jeśli cena A maleje o 15% to FVF = -15/100+1 = 0,85

FV = 0,85 × A

Np. cenę towaru 150zł obniżono o 25%

-25/100+1 = 0,75 (FVF)

0,75 × 150zł = 112,50zł