Obliczenia procentowe dla N>1 i n>1

Na początek przypomnę znaczenie symboli:

FVF - czynnik przyszłej wartości

PV - wartość obecna

FV - wartość przyszła

N - numer okresu (ilość lat)

n - ilość płatności odsetek w okresie N, czyli kapitalizacji

R - nominalna stopa procentowa (roczna)

r - stopa procentowa podokresu (części roku) r = R / n

EAR (Effective / Equivalent Annual Rate) - efektywna / równoważna stopa procentowa.

Z poprzednich postów wiemy już jak obliczyć FV gdy N>1 lub gdy n>1

Teraz zajmiemy się sytuacją Kiedy i N>1 i n>1

Przykład:

Dane lokaty: PV = 1.000 zł, R = 18%, N = 5, n = 12, FV = ?

Mamy więc kapitał 1.000 zł na 5-letniej lokacie, przy oprocentowaniu 18% oraz kapitalizacji miesięcznej odsetek. Mamy obliczyć przyszłą wartość kapitału FV.

         Należy pamiętać, że nominalna stopa procentowa R zawsze dotyczy roku. I tak, np. przy kapitalizacji rocznej, na horyzoncie roku działa stopa procentowa R = 18% - patrz rysunek powyżej.

Jeśli kapitalizacja następuje 2 razy w roku (n = 2) to mamy dwa półroczne podokresy. Na każdym podokresie, będącym częścią roku działa stopa procentowa podokresu r = R / 2, będąca częścią nominalnej stopy R, czyli 9% = 18% / 2.

Analogicznie będzie wyglądał podział stopy R dla pozostałych podokresów roku, których może być dowolna ilość.

W naszym przykładzie mamy stopę R = 18% i kapitalizację miesięczną (n = 12).

Mamy do czynienia z 12 podokresami n, a na każdym pracuje stopa podokresu r = R / n, czyli 18% / 12 = 1,5%

Zgodnie z omawianym już w innych postach schematem obliczeń, najpierw obliczamy wartość uniwersalnego czynnika przyszłej wartości FVF dla roku:

FVF_Y = ((1+R/100/12)¹²

FVF_Y = (1+18/1200) = 1,015¹²

Przypominam prosty schemat obliczeń na 4-dziłaniowym kalkulatorze:

1. wprowadzamy 1,

2. wprowadzamy 18

3. dzielimy przez 100 (lub przez 12 i pomijamy 4.),

4. dzielimy przez 12,

5. wciskamy klawisz mnożenia [×],

6. 11 razy naciskamy klawisz [=] (dlatego 11, że pierwsze wciśnięcia daje 2. potęgę)

Krok po kroku obliczenia wyglądają tak:

[1]

[+]

[1][8]

[/]

[1][2]

[/]

[1][0][0]

[×]

[=][=][=][=][=][=][=][=][=][=][=]

Wynikiem jest 1,1956176 = FVF_Y

Zatrzymajmy się przy tym wyniku.
Otrzymaliśmy wartość FVF dla roku oznaczoną FVF_Y. Zauważmy, że do obliczenia FVF używamy wzoru FVF = (R%/100+1)

Jeśli chcemy na podstawie FVF obliczyć R%, wykonujemy R% = (FVF-1) × 100

Wykonajmy takie działanie dla obliczonego FVF_Y = 1,1956176

(1,1956176-1) × 100 = 19,56176%

Oznacza to, że ta R obliczona dla roku wynosi 19,56% i jest większa od nominalnej stopy rocznej R = 18%

Stopa 19,56% to efektywna stopa roczna EAR (, która jest większa od nominalnej i jest wynikiem działania efektu multiplikacji, czyli procentu składanego). W wyniku 12 kapitalizacji w roku efekt finansowy przy stopie nominalnej R = 18% jest taki, jak przy stopie R = 19,56 i kapitalizacji rocznej.

W naszym przykładzie mamy 5-letni okres utrzymywania inwestycji (N = 5). Musimy więc obliczyć FVF dla 5-letniego kresu. Możemy to zrobić na 2 sposoby. Albo potraktować inwestycję jako 60 podokresów (12×5=60) i wykonać działanie (18/12/1001)⁶⁰, albo obliczony FVF_Y = 1,1956176 podnieść do potęgi 5. - zgodnie ze schematem FVF_5Y = (1+18/100/12)^12×5

Obliczenia:

1. sposób: FVF₆₀ = (1+18/100/12)⁶⁰ = 2,4432137

2. sposób: FVF_5Y = (1+18/100/12)¹² = 1,1956176  i 1,1956176⁵ = 2,4432137

Podaję jeszcze raz schemat prostych obliczeń na kalkulatorze:

1. wprowadzamy 1,

2. wciskamy klawisz [+]

3. wprowadzamy 18

4. wciskamy klawisz [÷]

5. wprowadzamy 100,

6. wciskamy klawisz [÷]

6. wprowadzamy 12,

7. wciskamy klawisz mnożenia [×],

6. 11 razy naciskamy klawisz [=] (dlatego 11, bo pierwsze wciśnięcia daje 2. potęgę)

    na ekranie powinien być wynik 1,1956176

7. wciskamy klawisz mnożenia [×],

8. naciskamy 4 razy klawisz [=],

Otrzymujemy wynik 2,4432137 = FVF_5Y = FVF₆₀

Teraz wystarczy już obliczony FVF pomnożyć przez PV - zgodnie ze wzorem:

PV × FVF = FV

1.000 zł × 2,4432137 = 2.443,21 zł

Zwracam uwagę na to, że obliczenie FVF z naszego przykładu sprowadza się do działania 1,015⁶⁰, a to działanie można wykonać na wiele sposobów, np.

(1,015)⁶⁰ = ((1,015)¹²)⁵ = ((1,015)¹⁰)⁶ = (((1,015)⁶)²)⁵) … itd
Wykładniki potęg mnożymy, np. 12 × 5 = 60, 10 × 6 = 60 i 6 × 2 × 5 = 60

A teraz podam ogólny wzór na FVF, za pomocą którego można obliczyć FV przy dowolnej konfiguracji N i n:

FVF = (R/100/n)^(N×n)

Warto dobrze zapamiętać ten wzór, a także dokładnie przeanalizować podane przeze mnie schematy obliczeń na kalkulatorze. Czynnik FVF ma zastosowanie do wielu obliczeń finansowych, które umieszczę w osobnym poście.