Procent i stopy procentowe

         Bardzo często słyszymy i posługujemy się terminem finanse, dlatego warto wspomnieć, że finanse to każde nasze działanie, które angażuje pieniądze. Zgodnie z tym, np. zakup codziennej prasy, żywności, TV, sprzętu AGD albo zakup domu - to decyzje finansowe, natomiast wybór ubrania, w którym pójdziemy do pracy - nie.

         Finanse nie obliczane najczęściej stają się nieobliczalne to aforyzm, który warto zapamiętać i który słusznie sugeruje nam, że do finansów niezbędna jest umiejętność sprawnego liczenia - ze zrozumieniem. Trudno jest rozumieć finanse, a tym bardziej podejmować decyzje finansowe nie wiedząc, co to jest procent, stopa procentowa, stopa zwrotu, procent składany, renta kapitałowa, renta wieczysta. inflacja, dyskonto, przepływ pieniężny, indeksacja, ryzyko inwestycyjne, … itp. Jeśli decyzje finansowe chcemy podejmować odpowiedzialnie i świadomie, chcemy żeby były właściwe i osiągnąć przy tym szeroko rozumiane bezpieczeństwo finansowe, musimy robić to planowo i z maksymalnym wykorzystaniem siły nabywczej naszych pieniędzy. Do tego bezwzględnie potrzebna jest umiejętność sprawnego liczenia. Zwracam uwagę na to, że to my myślimy i przeprowadzamy obliczenia. Maszyny w postaci komputerów i kalkulatorów jedynie szybko i bezbłędnie wykonują za nas działania. Jeśli będzie odwrotnie, nie można mówić o liczeniu ze zrozumieniem.

         Ponadto musimy pogodzić się z faktem, że nie jesteśmy racjonalni, jak dotychczas sądzono (homo economicus), ale emocjonalni. Niestety, jako gatunek nie mamy predyspozycji do finansów, bo nie jesteśmy „cyfrowi” (zainteresowanych tematem odsyłam do prac Daniela Kahnemana, psychologa i noblisty z ekonomii 2002 r.)

         
         Przykładem jest wybór dwóch towarów: w cenie 199,99 zł i 200.00 zł. Mimo, ze 1 grosz nie stanowi żadnej ekonomicznej różnicy, konsumenci i tak wybiorają towar w cenie 199,99. Dlaczego? - bo lepiej wygląda.

         Przestrzegam też przed intuicyjnym podejściem do finansów, a dla ilustracji sensu tej przestrogi proponuję następującą zagadkę: Wyobraźmy sobie, że mamy do wyboru dwie oferty. Oferta A polega na tym, że na nasze nieoprocentowane konto każdego miesiąca, przez 3 lata (36 miesięcy) będą wpływały pieniądze. W pierwszym miesiącu wpłynie 0,01 zł, a w każdym następnym kwota 2 razy większa niż w miesiącu poprzednim. Zgodnie z tym, w pierwszym miesiącu wpłynie 0,01 zł, w drugim miesiącu 0,02 zł, w trzecim miesiącu 0,04 zł, w czwartym miesiącu 0,08 zł, w piątym 0,16 zł, w szóstym 0,32 zł, … itd. - aż do 36. miesiąca. Po 3 latach (36 miesiącach) na koncie uzbiera się pewna kwota, z której otrzymamy tylko 1%.

         Oferta B to natychmiastowa wypłata 100.000 zł w gotówce. Na wybór oferty: A lub B mamy 30 sekund!

         Rozwiązanie zagadki w najbliższym poście, a teraz przechodzimy już do meritum.

Procent

         Jeśli na oprocentowanej lokacie kapitał 150 zł wzrośnie do wartości 195 zł to oznacza, że wypracował 45 zł odsetek. Dzieląc 195 przez 150, otrzymamy 1,3. Jednostkowy kapitał początkowy wzrósł więc z 1 do wielkości 1,3. Podobnie będzie z każdą kwotą kapitału początkowego. Otrzymamy kapitał końcowy, składający się z kapitału początkowego, czyli 1, oraz odsetek, czyli 0,3.

Każda jednostka kapitału wypracuje kwotę będącą iloczynem jednostki kapitału i 0,3, czyli 1 zł × 0,3 = 0,3 zł.

Przykłady:

10 × 0,3 = 3 zł,

100 zł × 0,3 = 30 zł,

1.500 zł  × 0,3 = 450 zł

Jeśli weźmiemy dowolną liczbę A i uznamy, że stanowi ona 100% to oznacza, że przyjmujemy, że składa się ze 100 równych części (każda część to A / 100 = 1%). Jeśli chcemy obliczyć 15% z liczby A, to musimy wziąć 15 części. Obliczając 40% wzrost liczby A, do liczby A (100 części) dodajemy jeszcze 40 części. Natomiast, gdy chcemy obliczyć jaki procent liczby A stanowi jakaś inna liczba B, musimy sprawdzić z ilu tych części (1%) składa się liczba B. Zawsze, obliczając procent z jakiejś wielkości, dzielimy ją na 100 części - ustalamy ile wynosi 1%.

„Pro cento”  to z łaciny „na sto” i z tego płynie dla nas wskazówka ułatwiająca obchodzenie się ze znakiem % - wiem, że to sprawia kłopoty. Zapamiętajmy więc, że zapis 45% oznacza, że liczbę stojącą przed % należy podzielić przez 100 - i odwrotnie.

45% / 100 = 0,45
0,45 × 100 = 45%

W celu obliczenia 30% z liczby 250, dzielimy 30% / 100 = 0,30, a następnie mnożymy 0,30 × 250 =75. 75 to 30% ze 250

Wprowadźmy teraz trochę powszechnie stosowanej terminologii finansowej:

I (Interest) - odsetki

IC (Invested Capital) - kapitał inwestycyjny (środki finansowe zainwestowane w celu wypracowania zysku)

R (Rate of interest) - stopa procentowa (nominalna roczna stopa procentowa. Jest to podstawowa stopa (zawsze roczna), którą podaje się w informacjach dotyczących instrumentów finansowych (np. oprocentowanie lokat bankowych)

PV (Present Value) - wartość obecna (bieżąca)
FV (Future Value) - wartość przyszła

YR (Yield Rate); - stopa rentowności (zyskowności; dochodowości).

FVF (Future Value Factor) - czynnik przyszłej wartości

N (Number of Period)  – numer okresu (ilość lat) utrzymywania instrumentu finansowego (np. na lokaty bankowej)

n (number of payment) - ilość płatności odsetek w okresie N, czyli kapitalizacji polegającej na dodawaniu odsetek do kapitału IC) - ilość podokresów roku.

Wróćmy teraz do naszego pierwszego przykładu, w którym 150 zł wypracowało 30% zysku, czyli 45 zł.

Wartość obecna PV = 150 zł, a przyszła FV = 195 zł. Iloczyn FV i PV daje wynik 1,3. Ujmując to procentowo, PV = 100%, a FV = 130%. Żeby ustalić same odsetki, musimy od 130% odjąć 100%, a wynikiem będzie 30%.

W ten oto sposób otrzymaliśmy stopę zwrotu z inwestycji, czyli YR albo RR. 

Jeśli chcemy obliczyć stopę zwrotu YR z inwestycji, musimy wykonać działanie:

YR = (FV / PV - 1) × 100

1. Przykład: PV = 500 zł, FV = 665 zł , YR = ?

YR = (665  / 500 - 1) × 100 = 33%

(Przy okazji przypominam omówioną wcześnie zasadę wynikającą z tłumaczenia „Pro cento” . Jeśli pominiemy działanie „× 100”, zamiast 33% otrzymamy 0,33. Chcąc uzyskać zapis procentowy, musimy wykonać działanie 0,33 × 100 = 33%)

Jeśli wykonamy działanie: 665 zł / 500 zł otrzymamy 1,33. Wiemy już, że w liczbie tej zawarty jest jednostkowy PV, czyli 1 oraz odsetki, czyli 0,33 - w sumie 1,33.

Jeśli mamy obliczyć 33% z 500 zł, to musimy wykonać:

33% / 100 = 0,33

0,33 × 500 zł = 165 zł

Jeśli chcemy obliczyć FV na podstawie PV i R, musimy podzielić stopę procentową R przez 100 i dodać do wyniku 1 według wzoru:

(1 + R / 100) = (1 + 33% / 100) = 1,33

Otrzymaliśmy znaną już liczbę 1,33, którą oznaczamy symbolem FVF.

Radzę dobrze zapamiętać tę liczbę, symbol i sposób jego obliczania, bo stale będziemy ich używali w dalszych obliczeniach.

W ogólnej postaci (dla N = 1 i n = 1) wygląda tak:

FVF = (1 + R / 100)

Ogólny wzór na obliczanie FV na podstawie PV i R wygląda tak:

PV × FVF = FV

2. Przykład: PV = 400 zł, R = 15%, FV = ?

FVF = (1 + 15 / 100) = 1,15

400 zł × 1,15 = 460 zł

FV = 460 zł

A teraz odwróćmy problem i obliczmy jaka była kwota początkowa PV, skoro przy oprocentowaniu R = 25% FV = 1.000 zł.

Dane: PV = ?, R = 25%, FV = 1.000 zł

Ponieważ PV × FVF = FV, to PV = FV / FVF

FVF = (1 + 25 / 100) = 1,25

FV / FVF = PV, czyli 1.000 zł / 1,25 = 800 zł

PV = 800 zł

W ten sposób na podstawie wartości przyszłej FV i stopy R obliczyliśmy wartość początkową PV. Działanie, jakie wykonaliśmy nosi nazwę DYSKONTOWANIA. Dyskontowaniem oraz zastosowaniem tego działania w finansach zajmiemy się w osobnym poście.

Do tej pory zajmowaliśmy się jednym okresem odsetkowym, czyli tzw. procentem prostym. Zajmiemy się teraz procentem składanym.

Procent składany (N>1)

Jeśli na rocznej (N = 1) lokacie oprocentowanej R = 10% umieścimy kwotę kapitału PV = 100 zł, po roku otrzymamy kapitał FV = 110 zł.

Jeśli zdecydujemy wpłacić 100 zł na lokatę 5-letnią (N = 5), po roku kapitał i odsetki zostaną dodane i przez 2. Rok będzie pracował kapitał 110 zł. Tak będzie w kolejnych 3 latach. Dodanie odsetek do kapitału w terminologii finansowej nazywamy KAPITALIZACJĄ.

Zapis będzie wyglądał następująco:

FVF = (1 + 10 / 100) = 1,1

PV × FVF = FV

1. rok:  100,00 zł × 1,1 = 110,00 zł

2. rok:  110,00 zł × 1,1 = 121,00 zł

  

3. rok:  121,00 zł × 1,1 = 133,10 zł

4. rok:  133,10 zł × 1,1 = 146,41 zł

5. rok:  146,41 zł × 1,1 = 161,05 zł

Zasada jest prosta i przy 6 letniej lokacie nie stanowi większego problemu.

Można jednak znacznie ułatwić sobie obliczenia.

Zauważmy, że kwotę 110,00 zł z 2. roku można zastąpić działaniem „100,00 zł × 1,1” z 1. roku. Otrzymamy:

1-2. rok: 100,00 zł × 1,1 × 1,1 = 121,00 zł 

3. rok:  121,00 zł × 1,1 = 133,10 zł

4. rok:  133,10 zł × 1,1 = 146,41 zł

5. rok:  146,41 zł × 1,1 = 161,05 zł

Teraz kwotę 121,00 zł w 3. roku możemy zastąpić wyrażeniem: „100,00 zł × 1,1 × 1,1” z 2. roku. Otrzymamy:

1-3. rok:  100,00 zł × 1,1 × 1,1 × 1,1 = 133,10 zł

4. rok:  133,10 zł × 1,1 = 146,41 zł

5. rok:  146,41 zł × 1,1 = 161,05 zł

Następnie kwotę 133,10 zł w 4. roku możemy zastąpić wyrażeniem: „100,00 zł × 1,1 × 1,1 × 1,1” z 3. Roku, … itd. W rezultacie otrzymamy następujące działanie:

1-5. rok:  100,00 zł × 1,1 × 1,1 × 1,1 × 1,1 × 1,1 = 161,05 zł

Po przekształceniu otrzymamy:

1-5. rok:  100,00 zł × (1,1)⁵ = 161,05 zł

Można to ująć prostym wzorem (w którym występuje nasz czynnik FVF):

PV  × FVF ^N = FV

Jeśli więc mamy policzyć wartość przyszłą FV kapitału PV wpłaconego na wieloletnią lokatę z kapitalizacją roczną (odsetki dopisywane do kapitału po każdym roku) przy oprocentowaniu R, musimy zastosować nasz czynnik FVF podniesiony do potęgi N (ilość lat)  

Przykład: PV = 12,600 zł, R = 12,6%, N = 10 lat.

Można oczywiście liczyć rok po roku, albo użyć kalkulatora z funkcja dowolnej potęgi, ale można też prościej.

Obliczmy najpierw nasz FVF dla tego przykładu:

FVF = (1 + 12,6 / 100) = 1,126

Mamy 10 lat, więc musimy policzyć wartość FVF¹⁰, czyli 1,126¹⁰

Weźmy najprostszy kalkulator, wykonajmy obliczenie 1 + 12.6 / 100.

Na ekranie powinniśmy otrzymać 1,126. Jeśli teraz naciśniemy klawisz mnożenia „[×]”, a następnie klawisz „[=]” otrzymamy 1,267876 - to wynik działania 1,126² = 1,267876. Kolejne naciśnięcie klawisza „[=]” da nam wynik 1,126³ = 1,4276283. Kolejne 7 naciśnięć klawisza „[=]” da nam wynik 1,126¹⁰ = 3,276301

Po podstawieniu do wzoru otrzymamy:

PV  × FVF^N = FV, czyli PV  × FVF¹⁰ = FV

12.600 zł × 3,276301 = 42.281,39 zł

FV = 42.281,39 zł

Kapitalizacja częściej niż raz w roku (n>1)

W powyższych przykładach omawiane były przykłady lokat, w których kapitalizacja następowała tylko raz w roku - na koniec okresu. Możliwa jest tez taka konstrukcja lokaty, w której kapitalizacja będzie następowała częściej, np. 2 razy, 4 razy, 12, albo też nieskończoną ilość razy. Taka sytuacja nie komplikuje nam obliczeń, ale musimy zapamiętać kilka ważnych rzeczy.

Pamiętajmy, że nominalna stopa procentowa R dotyczy zawsze roku. Jeśli kapitalizacja jest roczna, to stopa R działa na horyzoncie roku. Jeśli odsetki kapitalizowane są częściej niż raz w roku (n razy), w każdym podokresie n roku (części roku) będzie działała odpowiednia część stopy procentowej R, która oznaczamy małym r.

Przykład. Mamy roczną (N = 1) lokatę, oprocentowaną R = 8%, kapitalizacja kwartalna (n = 4). PV wynosi 200 zł, a FV mamy obliczyć.

Nasze dane: PV = 200 zł, N = 1, n = 4, R = 8%, FV = ?

Najpierw obliczamy r:

r = R / n

2% = 8% / 4

r = 2%

Oznacza to, że na każdym podokresie wynoszącym 3 m-ce (12 m / 4 = 3 m) będzie pracowała r = 2% (a nie R = 8% dla całego roku) stopa procentowa.

FVF dla 3 miesięcznego okresu będzie wynosił: FVF = (1 + 2 / 100) = 1,02

Obliczenia:

1. kwartał:  200,00 zł × 1,02 = 204,00 zł

2. kwartał:  204,00 zł × 1,02 = 208,08 zł

3. kwartał:  208,08 zł × 1,02 = 212,24 zł

4. kwartał:  212,24 zł × 1,02 = 216,49 zł

Wiemy, jak uprościć obliczenia. Możemy teraz obliczyć wzór FVF dotyczący roku:

PV × FVF = FV

FVF = 1,02⁴ = 1.0824321

200 zł × 1.0824321 = 216,49 zł

Na koniec obliczmy jeszcze stopę zwrotu YR tej inwestycji:

Przypominam wzór: YR = (FV / PV - 1) × 100

(216,49 / 200 - 1) × 100 = 8,245%

Zauważmy, że stopa YR = 8,245% jest nieco większa od nominalnej stopy R lokaty wynoszącej 8%. Ta różnica jest efektem działania tzw. efektu multiplikacji, czyli działania procentu składanego i naliczania odsetek od odsetek.

Stopę 8,245% w finansach nazywamy Efektywną (Równoważną) Stopa Procentową EAR.

Ważne! Stopa EAR dotyczy wyłącznie roku. Nie obliczamy jej dla całego okresu inwestycji. W naszym przykładzie całym okresem inwestycji był rok, dlatego EAR = APR.

EAR (Effective / Equivalent Annual Rate) - efektywna (równoważna) roczna stopa procentowa wynikająca z kapitalizacji odsetek następującej częściej niż raz w roku.

Przy inwestycji wieloletniej pojawia się stopa APR (Annualized Percentage Rate) – “uroczniona” stopa procentowa. APR = YR

O niej będzie mowa w następnych postach.

Na zakończenie warto jeszcze wspomnieć o obliczeniach procentowych dotyczących przyrostu i spadku procentowego.

Przykład 1.:

W sklepie jest towar w cenie 350zł i należy ją podnieść o 16%.

W tym celu wykorzystujemy wcześniej poznany wzór: PV × FVF = FV

FVF = (1 + 16 / 100) = 1,16

1,16 × 350 = 406zł

Przykład 2.:

W sklepie jest towar w cenie 350zł i należy ją obniżyć o 16%.

Uwaga: w przypadku obniżki procentowej, od jedności należy odjąć iloraz 16 / 100

FVF = (1 - 16 / 100) = 0,84

0,84 × 350 = 294zł

Kapitalizacja ciągła (n = nieskończoność)

Ilość kapitalizacji w roku może być dowolnie duża - również nieskończenie duża. Mówimy wtedy o kapitalizacji ciągłej - ciągłym naliczaniu i kapitalizowaniu odsetek. Jak obliczamy wynik finansowy takiej kapitalizacji?

Posługujemy się liczbą Eulera (podstawą logarytmów naturalnych - Nepera), czyli liczbą e = 2,718281828459 ...

Przykład: R = 12%, PV = 1.500zł, N = 1, n = nieskończoność, FV = ?

FV = 1.500 × e^0,12 = 1.500 × 1,1275 =  1.691,25

Dla porównania: 

FV (kapitalizacja roczna) = 1.680,00zł

FV (kapitalizacja miesięczna) = 1.690,24zł

FV (kapitalizacja ciągła) = 1.691,25

Jak widać wynik finansowy, w porównananiu z kapitalizacją roczną jest większy o 11,25zł, a miesięczną zaledwie 1,25zł.